Heute wollen wir uns einmal die Mathematik auf der Uhr etwas genauer betrachten. Ihr wisst ja, dass ein Tag 24 Stunden hat. Das Ziffernblatt einer Uhr zeigt 12 Stunden, und wir wollen uns auch unser eigenes Ziffernblatt malen!

Du brauchst:

  • Ein aufgemaltes Ziffernblatt mit 12 Stunden
  • Ein aufgemaltes Ziffernblatt mir 11 Stunden
  • Eine Spielfigur (z.B. “Mensch ärgere Dich nicht”)

“Plus” auf der Uhr geht so:

Wenn wir z.B. 2 + 3 rechnen wollen, setzen wir die Spielfigur auf die “2” und gehen dann 3 Schritte weiter. Ganz einfach! Ebenso geht es z.B. mit 5 + 7 oder 10 + 11. Was kommt dabei jeweils heraus, wenn wir auf dem “11er”-Ziffernblatt laufen? Schreibe ein paar Rechnungen auf.

Gibt es zu jeder Zahl X eine andere Zahl Y, so dass X + Y = 11 herauskommt?

Gilt das auch auf dem 12-Ziffernblatt, d.h. gibt es auch dort zu jeder Zahl X eine andere Zahl Y, so dass X + Y = 12 herauskommt?

“Mal nehmen” auf der Uhr geht so:

Wenn wir z.B. "2 mal 3" rechnen wollen, rechnen wir 2 + 2 + 2. Wir fragen uns jetzt, ob wir immer zur “1” kommen können. Beispielsweise gilt 5 * 9 = 1 auf dem 11-Ziffernblatt. Auf dem 12-Ziffernblatt hingegen gilt 5 * 5 = 1. Probiere es aus!

Gibt es zu jeder Zahl X auf dem 11er-Blatt eine Zahl Y, so dass X * Y = 1 gilt? Wie ist es auf dem 12er-Blatt?

Lade hier die Anleitung als PDF herunter!

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Erklärung

Auf dem 11er-Ziffernblatt können wir für jede Zahl X außer 11 eine Zahl Y finden, so dass X * Y = 1 ergibt:

  • 1 * 1 = 1 auf dem 11er-Blatt
  • 2 * 6 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1 auf dem 11er-Blatt
  • 3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 1 auf dem 11er-Blatt
  • 4 * 3 = 4 + 4 + 4 = 1 auf dem 11er-Blatt
  • 5 * 9 = 1 auf dem 11er-Blatt
  • 6 * 2 = 6 + 6 = 1 auf dem 11er-Blatt
  • 7 * 8 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 1 auf dem 11er-Blatt
  • 8 * 7 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 1 auf dem 11er-Blatt
  • 9 * 5 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 1 auf dem 11er-Blatt
  • 10 * 10 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 1 auf dem 11er-Blatt

Auf dem 12er-Ziffernblatt geht das nicht! Beispielsweise können wir für die Zahl 6 keine Zahl Y finden, so dass 6 * Y = 1 ergibt.

  • 6 * 1 = 1 auf dem 12er-Blatt
  • 6 * 2 = 12 auf dem 12er-Blatt
  • 6 * 3 = 6 auf dem 12er-Blatt
  • 6 * 4 = 12 auf dem 12er-Blatt
  • 6 * 5 = 6 auf dem 12er-Blatt
  • und so weiter...

Genauso ergeht es uns mit der 2, der 3, der 4, der 8, der 9 und der 10. Immer dann, wenn wir einmal auf der 12 landen, kommen wir nie mehr auf die 1.

Das sind alles Zahlen, die einen Teiler mit 12 gemeinsam haben: 12 = 3 * 4 = 2 * 6:

  • 2 = 2 (klar!)
  • 3 = 3 (klar!)
  • 4 = 2 * 2
  • 8 = 2 * 2 * 2
  • 9 = 3 * 3
  • 10 = 2 * 5

Genauer gesagt genügt es schon, wenn die Zahl X einen "Primfaktor" mit 12 gemeinsam hat, damit es keine Zahl Y gibt mit X * Y = 1, aber über "Primzahlen" und "Primfaktoren" erzähle ich Euch an anderes Mal!

Für die Zahlen X = 5, 7 und 11 wiederum gibt es jeweils eine Zahl Y mit X * Y = 1:

  • 5 * 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 1 auf dem 12er-Blatt
  • 7 * 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 1 auf dem 12er-Blatt
  • 11 * 11 = 11 + 11 + ... + 11  = 1 auf dem 12er-Blatt